网易2018校招内推编程题2 – 堆棋子

题目描述

背景

小易将n个棋子摆放在一张无限大的棋盘上。第i个棋子放在第x[i]行y[i]列。同一个格子允许放置多个棋子。每一次操作小易可以把一个棋子拿起并将其移动到原格子的上、下、左、右的任意一个格子中。小易想知道要让棋盘上出现有一个格子中至少有i(1 ≤ i ≤ n)个棋子所需要的最少操作次数.

输入描述

输入包括三行,第一行一个整数n(1 ≤ n ≤ 50),表示棋子的个数
第二行为n个棋子的横坐标x[i](1 ≤ x[i] ≤ 10^9)
第三行为n个棋子的纵坐标y[i](1 ≤ y[i] ≤ 10^9)

输出描述

输出n个整数,第i个表示棋盘上有一个格子至少有i个棋子所需要的操作数,以空格分割。行末无空格
如样例所示:
对于1个棋子: 不需要操作
对于2个棋子: 将前两个棋子放在(1, 1)中
对于3个棋子: 将前三个棋子放在(2, 1)中
对于4个棋子: 将所有棋子都放在(3, 1)中

输入例子1

输出例子1

题目分析

首先要理解题意,让棋盘中至少有一个格子有i个棋子,求最少操作次数。这个操作次数实际上相当于:这个格子和移动到这个格子的棋子的,曼哈顿距离之和。

考虑一维的情况,给x轴上的N个点,求一个点到这N个点的距离之和最小。这里直接上结论,这个点一定是中点(如果有两个中点则均可)。证明的话可以自己画图移动点观察一下,刘汝佳的《训练指南》上第一章也有简单证明。

扩展到二维,给平面上的N个点,求一个点到这N个点的曼哈顿距离之和最小。考虑把这N个点分别影射到x轴和y轴,只考虑x轴上,选取一点x0使得到所有点的距离之和最小,y轴上同理选择最优的y0,而曼哈顿距离又可以通过加和求得,那么(x0, y0)就是要求的点。

现在可以看到,无论i是多少,最优解(x0, y0)中的x0和y0一定是输入中的数。也就是说我们只要N^2暴力枚举将要移动到的格子(x, y),就能覆盖所有最优解的情况。

然后可以考虑对于每一个枚举的(x, y),当然是先移动离它最近的棋子最好,这样先分别求出(x, y)到每一点的曼哈顿距离,然后排序一下或者加进优先队列,在移动过程中加和不断更新ans[i]最优解即可。

最后的复杂度是O(N^3 * logN)

Java代码

PS:这道题需要一些做题的经验和知识,还需要一些思路,有些拐弯抹角,ACM好久没练思路也跟不上了当时没做出来,然后笔试就挂掉了 = =

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